1.关于拓扑基（Basis）的定义

$S$ 的一个子集族 $\mathcal{B}$ ，也就是a collection of subset，把一些子集拿出来作为一个集合（亦即 $\mathcal{P}(S)$ 的子集）。是一个拓扑基(Basis)当且仅当其满足下列条件：

• 任意 $S$ 中的元素 $x$ ， $\mathcal{B}$ 中都可以找到一个子集 $B$ ，使得 $x$ 在 $B$ 中。
• $\mathcal{B}$ 任意两个元素 $B_1, B_2$ ，在它们交集 $B_1 \cap B_2$ 中的任何一个元素 $x$ ，都可以在 $\mathcal{B}$ 中找到一个子集 $B'$ ，这个子集 $B' \subset B_1 \cap B_2$ ，并且 $x$ 在 $B'$ 中。

由这个基生成的拓扑 $\mathcal{T}$ ，是由如下方式定义的开集组成的：

• 一个集合 $X$ 如果是开集，当且仅当其中每一个元素 $x$ ，在 $\mathcal{B}$ 中都能找到一个 $S$ 的子集 $B$ ，使得 $B \subset X$ ，且 $x \in B$ 。

有的定义中会说，把基中任意元素（即那些 $S$ 的子集）拿出来取并，再把所有这些并作为开集，得到的就是基生成的拓扑。这个定义其实跟上面的是等价的。对于满足上面定义的开集 $X$ ，我们它里面把每个元素 $x$ 对应的那些子集 $B$ 拿出来取并集，就得到了 $X$ ，因为每个 $B$ 都包含在 $X$ 里面，并起来不会超出 $X$ 的范围，而且 $X$ 中的每个元素都被覆盖到了。对于满足这个定义的那些开集 $X$ ，我取了一些基中元素并起来得到 $X$ ， $X$ 里面每一个元素 $x$ 肯定属于我取的某一个基中元素 $B$ ，因为取了并集，所以 $B$ 里面的所有元素都被并进了 $X$ 里面，所以 $B$ 也必然包含在 $X$ 里面。